Aide-Mémoire : Formules & Unités

1.1 — Unités d’angles

Les unités d’angles les plus utilisées sont le degré et le radian. On a par exemple : 180° = π rad.

1.2 — Relations entre les fonctions

• tan α = sin α / cos α
• cot α = 1 / tan α = cos α / sin α
• sin²α + cos²α = 1
• cos(−α) = cos α ; sin(−α) = −sin α
• cos(α + π/2) = −sin α ; sin(α + π/2) = cos α
• cos(α − π/2) = sin α ; sin(α − π/2) = −cos α
• cos(π + α) = −cos α ; sin(π + α) = −sin α
• cos(π − α) = −cos α ; sin(π − α) = sin α
• sin 2α = 2 cos α · sin α
• sin²α = (1 − cos 2α)/2 ; cos²α = (1 + cos 2α)/2
• 1 / cos²α = 1 + tan²α

1.3 — Valeurs remarquables

1.4 — Triangle rectangle

Dans un triangle ABC rectangle en C, avec l’angle α en A :

• sin α = côté opposé / hypoténuse = BC / AB
• cos α = côté adjacent / hypoténuse = AC / AB
• tan α = côté opposé / côté adjacent = BC / AC

h = BC = AB × sin α

2.1 — Définitions

• Perpendiculaires (orthogonaux) : mes(u ; v) = 90°, noté u ⊥ v.
• Colinéaires : même direction, noté u ∥ v. Même sens (0°) ou sens contraires (180°).

2.2 — Norme

Si u = x·i + y·j : ‖u‖ = √(x² + y²)

2.3 — Produit scalaire

• Si mes(u ; v) = α : u · v = u · v · cos α
• Si u = x·i + y·j et v = x′·i + y′·j : u · v = x·x′ + y·y′
• u · v = v · u ; si u ⊥ v alors u · v = 0.

2.4 — Produit vectoriel

‖u ∧ v‖ = u · v · sin α

• u ∧ v = −v ∧ u
• Si u ⊥ v alors ‖u ∧ v‖ = u · v ; si u ∥ v alors ‖u ∧ v‖ = 0.

2.5 — Projection sur un axe

• Vecteur perpendiculaire à l’axe → projection nulle.
• Vecteur colinéaire → projection = ± valeur du vecteur.
• Vecteur formant un angle α → projection = v · cos α (ou sin α selon l’axe).

2.6 — Somme & soustraction

Règle du parallélogramme pour v = v₁ + v₂ ; soustraction : u = v₁ − v₂.

Fonctions usuelles

Fonctions trigonométriques & exponentielles

Opérations & fonctions composées

• (ku)′ = k·u′ ; (u + v)′ = u′ + v′ ; (u·v)′ = v·u′ + u·v′
• (1/u)′ = −u′/u² ; (u/v)′ = (v·u′ − u·v′)/v²
• (uⁿ)′ = n·uⁿ⁻¹·u′ ; (ln u)′ = u′/u

Logarithme népérien

Pour x > 0 : ln x = y ⇔ eʸ = x.

• ln(1) = 0 ; ln(eˣ) = x
• ln(a·b) = ln a + ln b
• ln(aⁿ) = n · ln a
• ln(1/a) = −ln a ; ln(a/b) = ln a − ln b

Logarithme décimal

log(x) = ln(x) / ln(10). Si log(a) = b, alors a = 10ᵇ.

Exponentielle

• e⁰ = 1 ; e^(ln x) = x ; eˣ > 0
• e^(a+b) = eᵃ · eᵇ ; e^(a−b) = eᵃ · e⁻ᵇ

Soient a, b, c, d réels non nuls.

Addition / soustraction : a + b = c + d ⇔ a = c + d − b (etc.).

Multiplication / division : a/b = c/d ⇔ a·d = b·c ⇔ a = (b·c)/d.

Équation : ax² + bx + c = 0. Discriminant : Δ = b² − 4ac.

• Si Δ < 0 : aucune solution réelle.
• Si Δ = 0 : une solution unique x = −b / 2a.
• Si Δ > 0 : deux solutions x₁ = (−b − √Δ) / 2a et x₂ = (−b + √Δ) / 2a.

Règles : 10ᵃ × 10ᵇ = 10ᵃ⁺ᵇ ; (10ᵃ)ᵇ = 10ᵃᵇ ; 10ᵃ / 10ᵇ = 10ᵃ⁻ᵇ ; 1/10ᵃ = 10⁻ᵃ.

1ᵉʳ cas — a → b ; c → x ⇒ x = (b × c) / a.
Exemple : 1 cm → 20 N ; 2 cm → x = (20 × 2) / 1 = 40 N.

2ᵉ cas — a → b ; x → d ⇒ x = (a × d) / b.
Exemple : 1 cm → 20 N ; x → 50 N ⇒ x = 2,5 cm.

Attention aux unités : a et c d’une part, b et x (ou b et d) d’autre part doivent être exprimés dans la même unité.

Tracer y = f(x) : y en ordonnées, x en abscisses.

• Droite passant par l’origine : y = kx, k = coefficient directeur (ex. P = mg).
• Droite ne passant pas par l’origine : y = ax + b, b = ordonnée à l’origine (ex. v = at + v₀).