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Mathématiques N°1 — Entiers naturels

Systèmes de numération & divisibilité dans N

Premier cours de Mathématiques de Terminale Sciences Sociales (TSS). Il pose les fondations de l'arithmétique : notion de base d'un système de numération, écriture unique d'un entier en base b, exemples en base 2 (binaire) et base 60 (temps), numérations additive (Égyptiens) et positionnelle (Mayas), histoire du zéro, puis critères usuels de divisibilité (par 2, 3, 5, 9) et application à la simplification des fractions via le PGCD.

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Sommaire

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  1. 1IntroductionPourquoi désigner de grands nombres avec peu de symboles ? Sommaire du cours.
  2. 2Bases d'un système de numérationDéfinition d'une base b ≥ 2 et écriture unique x = Σ aᵢ · bⁱ.
  3. 3Base 2 — Système binaireConversion base 2 ↔ base 10, méthode des divisions successives.
  4. 4Base 60 — Heures, minutes, secondesConversions temporelles en base sexagésimale.
  5. 5Numération additive — Les ÉgyptiensHiéroglyphes des puissances de 10 et méthode de représentation.
  6. 6Numération positionnelle — Mayas & le zéroBase 20, principe de position et histoire du zéro (Babyloniens → Europe).
  7. 7Exercices d'applicationConversions binaires et sexagésimales (1.a, 1.b, 1.c, 1.d) au format Données → Solution.
  8. 8Critères de divisibilitéDivisibilité par 2, 5, 3 et 9 dans le système décimal.
  9. 9Application — Simplification d'une fractionPGCD par décomposition en facteurs premiers et fraction irréductible.
  10. 10À retenirSynthèse du cours pour les révisions.
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Introduction

« Tout nombre entier naturel présuppose les précédents comme étant la cause de son existence. »— Schopenhauer

Lorsque l'homme appréhenda l'abstraction des nombres, il apprit à concevoir des ensembles de plus en plus étendus. Il se trouva alors confronté à un problème : comment désigner (oralement ou par écrit) un nombre élevé avec le moins de symboles possible ?

Sommaire :

  1. Systèmes de numération — Bases · Numérations additive et positionnelle
  2. Divisibilité dans le système décimal — Critères usuels · Applications
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Bases d'un système de numération

Pour compter, on regroupe les unités. Si l'on regroupe par paquets de b unités, puis par paquets de b paquets, etc., le nombre b est appelé base du système de numération. Les groupements successifs sont les puissances de b : 1, b, b², b³, …

Propriété fondamentale

Soit b ≥ 2 un entier. Tout entier naturel x non nul s'écrit de façon unique :

x = aₚ · bᵖ + aₚ₋₁ · bᵖ⁻¹ + … + a₁ · b + a₀

avec 0 < aₚ < b et 0 ≤ aᵢ < b pour tout i < p. On note alors : x = aₚ aₚ₋₁ … a₁ a₀ en base b.

Notre numération quotidienne est décimale (base 10), sans doute parce que l'homme a dix doigts. Nous étudions ci-dessous deux autres bases importantes.

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Base 2 — Système binaire

Les ordinateurs utilisent la numération binaire préconisée par Leibniz : les chiffres utilisés sont uniquement 0 et 1.

Exemple 1 — Du binaire au décimal.

Convertir x = 10011 (base 2) en base 10.

x = 1·2⁴ + 0·2³ + 0·2² + 1·2¹ + 1·2⁰ = 16 + 2 + 1 = 19.

Exemple 2 — Du décimal au binaire.

Écrire 34 en base 2 par divisions successives par 2 ; on lit les restes de bas en haut.

DivisionQuotientReste
34 ÷ 2170
17 ÷ 281
8 ÷ 240
4 ÷ 220
2 ÷ 210
1 ÷ 201

Donc : 34 = 100010 en base 2.

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Base 60 — Temps (heures, minutes, secondes)

Les montres et horloges utilisent la base 60 : 1 h = 60 min et 1 min = 60 s.

Exemples.

  • 3 h 48 min 53 s = 3·60² + 48·60 + 53 = 13 733 s.
  • 8 055 s = 2·60² + 14·60 + 15 = 2 h 14 min 15 s.
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Numération additive — Les Égyptiens

Vers 3000 av. J.-C., les Égyptiens ont inventé un système décimal dont les symboles (hiéroglyphes) sont tirés de la faune et de la flore du Nil. Les unités sont représentées par des barres, et chaque puissance de 10 possède un symbole propre.

Nombre1101001 00010 000100 0001 000 000
Symbolebarreansecorde enrouléefleur de lotusdoigt coupétêtarddieu assis

Méthode.

  1. Décomposer le nombre en une somme de puissances décroissantes de 10.
  2. Écrire, dans l'ordre décroissant, chaque symbole autant de fois qu'il le faut.

On dit que la numération égyptienne est additive.

Exemple.

Représenter 21 416 en numération égyptienne.

21 416 = 2·10⁴ + 1·10³ + 4·10² + 1·10 + 6, soit 2 « têtards », 1 « fleur de lotus », 4 « cordes enroulées », 1 « anse » et 6 « barres ».

Exemple inverse.

Une écriture comporte 1 « doigt coupé », 2 « fleurs de lotus » et 4 « cordes enroulées » :

1·10 000 + 2·1 000 + 4·100 = 12 400.

Limite : la représentation de grands nombres nécessite un nombre pléthorique de symboles. Ex. : le nombre 84 425 met en jeu 25 symboles !

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Numération positionnelle — Les Mayas & la naissance du zéro

Les Mayas (province du Yucatán, Mexique) utilisaient un système vigésimal (base 20). La valeur d'un chiffre dépend de sa position dans l'écriture. Les 19 unités sont représentées par des points et des traits, et les nombres se lisent sur une colonne verticale où chaque étage correspond à une puissance de 20.

NombreDécompositionReprésentation (de haut en bas)
914·20¹ + 11·20⁰4 (étage 20¹) ; 11 (étage 20⁰)
793·20¹ + 19·20⁰3 (étage 20¹) ; 19 (étage 20⁰)
3 0757·20² + 13·20¹ + 15·20⁰7 (étage 20²) ; 13 (étage 20¹) ; 15 (étage 20⁰)

Sur les traces du zéro.

Le premier zéro connu apparaît chez les savants babyloniens au 3ᵉ millénaire av. J.-C. Il est ensuite retrouvé, à partir du 5ᵉ siècle, chez les Mayas et dans un texte hindou. Il passe au 8ᵉ siècle en Chine, au 9ᵉ chez les Arabes, arrive en Espagne au 10ᵉ, en Occident au 12ᵉ et se généralise en Europe au 15ᵉ siècle.

Le mot chiffre vient de l'arabe sifr (vide), via l'italien cifra. Le zéro a deux rôles :

  • synonyme de rien (ex. 1 − 1 = 0) ;
  • marqueur d'absence de puissance de 10 (ex. 10 : pas d'unité ; 109 : pas de dizaine).
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Exercices d'application

Cadre imposé pour toute résolution : Données avant tout, puis Solution.

Exercice 1.a

Dans le système binaire, x s'écrit 101101. Écrire x en décimal.

Données

  • Base de départ : 2 (binaire).
  • Représentation : x = 101101₍₂₎.
  • Objectif : trouver x en base 10.

Solution

Formule utilisée : x = Σ aᵢ · 2ⁱ.

x = 1·2⁵ + 0·2⁴ + 1·2³ + 1·2² + 0·2¹ + 1·2⁰

x = 32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1

Résultat : x = 45.

Exercice 1.b

Écrire 92 dans le système binaire.

Données

  • Nombre décimal : N = 92.
  • Base d'arrivée : 2.

Solution

Divisions successives par 2 (les restes se lisent de bas en haut) :

DivisionQuotientReste
92 ÷ 2460
46 ÷ 2230
23 ÷ 2111
11 ÷ 251
5 ÷ 221
2 ÷ 210
1 ÷ 201

Résultat : 92 = 1011100₍₂₎.

Vérification : 1·64 + 0·32 + 1·16 + 1·8 + 1·4 + 0·2 + 0·1 = 92. ✓

Exercice 1.c

Compléter : 3 h 45 min 15 s = □ s.

Données

  • h = 3, min = 45, s = 15.
  • Système sexagésimal : 1 h = 60² s, 1 min = 60 s.

Solution

T = 3·60² + 45·60 + 15

T = 3·3 600 + 2 700 + 15 = 10 800 + 2 700 + 15

Résultat : T = 13 515 s.

Exercice 1.d

Compléter : 19 820 s = □ h □ min □ s.

Données

  • T = 19 820 s.
  • 1 h = 3 600 s ; 1 min = 60 s.

Solution

Division euclidienne par 3 600 : 19 820 = 5·3 600 + 1 820. Donc 5 heures et il reste 1 820 s.

Division euclidienne par 60 : 1 820 = 30·60 + 20. Donc 30 min et il reste 20 s.

Résultat : 19 820 s = 5 h 30 min 20 s.

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Critères de divisibilité (rappels)

Dans le système décimal, on dispose des critères usuels suivants.

Divisibilité par 2

Un entier naturel est divisible par 2 si et seulement si son dernier chiffre est 0, 2, 4, 6 ou 8.

Exemples : 3 058 et 74 154 sont divisibles par 2 ; 41 253 ne l'est pas.

Divisibilité par 5

Un entier naturel est divisible par 5 si et seulement si son dernier chiffre est 0 ou 5.

Exemples : 9 420 et 7 615 sont divisibles par 5 ; 8 306 ne l'est pas.

Divisibilité par 3 et par 9

Un entier naturel est divisible par 3 (resp. par 9) si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3 (resp. par 9).

Exemples : 1 002 (1+0+0+2 = 3) est divisible par 3 ; 35 721 (3+5+7+2+1 = 18) est divisible par 9.

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Application — Simplification d'une fraction

Énoncé.

On considère la fraction F = 5 148 / 1 386.

  1. Déterminer PGCD(5 148 ; 1 386).
  2. Rendre F irréductible.

Données

  • Numérateur : a = 5 148.
  • Dénominateur : b = 1 386.
  • Méthode : décomposition en produit de facteurs premiers.

Solution

1. Décomposition en facteurs premiers.

  • 5 148 = 2² · 3² · 11 · 13
  • 1 386 = 2 · 3² · 7 · 11

Le PGCD est le produit des facteurs communs à l'exposant minimal :

PGCD = 2 · 3² · 11 = 198.

Résultat 1 : PGCD(5 148 ; 1 386) = 198.

2. Simplification.

5 148 = 198 · 26 et 1 386 = 198 · 7.

F = (198 · 26) / (198 · 7) = 26 / 7.

Résultat 2 : F = 26 / 7 (irréductible, car PGCD(26 ; 7) = 1).

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À retenir

  • La base d'un système est le nombre servant aux regroupements. Tout entier s'écrit de manière unique en base b ≥ 2.
  • Passage base b → base 10 : somme Σ aᵢ · bⁱ. Passage base 10 → base b : divisions successives par b, lecture des restes de bas en haut.
  • Numération additive (Égyptiens) : symboles cumulés. Numération positionnelle (Mayas, décimale) : la valeur dépend du rang.
  • Le zéro a deux rôles : nombre nul, et marqueur d'absence de puissance de la base.
  • Critères de divisibilité : par 2 (dernier chiffre pair), par 5 (0 ou 5), par 3 ou 9 (somme des chiffres).
  • Une fraction devient irréductible en divisant numérateur et dénominateur par leur PGCD.

Évaluation officielle

QCM — Entiers naturels (Terminale SS)

Le QCM d'évaluation est encadré par le professeur. Pour y accéder :

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