MathématiquesTerminale TSE & TSM12 pages

Mathématiques N°1 — Nombres complexes

Formes algébrique, trigonométrique & exponentielle · Géométrie dans ℂ

Premier cours de Mathématiques de Terminale Sciences Expérimentales et Sciences Mathématiques (TSE & TSM — Bac C et E). Le cours reprend la forme algébrique et le module, la forme trigonométrique et les arguments, la forme exponentielle avec les formules de Moivre et d'Euler, la représentation géométrique (affixes, distances, angles orientés), la résolution des équations dans ℂ (racines n-ièmes, second degré) et les configurations géométriques classiques. Il se termine par 3 exercices d'entraînement et 12 exercices de renforcement issus de sujets de Bac, résolus au format Données → Solution.

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Sommaire

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1Forme algébrique et moduleZ = a + bi, i² = −1, partie réelle et imaginaire, |Z| = √(a² + b²) et propriétés du module.
2Forme trigonométrique et argumentZ = r(cos θ + i sin θ), calcul de arg(Z) et propriétés (produit, quotient, puissance, inverse).
3Forme exponentielle · Moivre & EulerZ = r e^(iθ), formule de Moivre, conjugué et formules d'Euler.
4Représentation géométriqueAffixes de points et de vecteurs, distances AB = |Z_B − Z_A| et angles orientés.
5Résolution d'équations dans ℂRacines n-ièmes d'un complexe et équation du second degré az² + bz + c = 0.
6Configurations géométriquesTriangles isocèle, équilatéral, rectangle, alignement, orthogonalité, cocyclicité, rotation.
7Exercices d'entraînement corrigésVrai/Faux, QCM et associations configuration ↔ caractérisation complexe.
8Exercices de renforcement — Bac corrigés10 sujets de Bac C et E entièrement résolus au format Données → Solution.
9Exercices d'approfondissement2 exercices à traiter en autonomie : suites de modules/arguments, polynôme et cocyclicité.
10À retenirFormulaire minimal pour l'examen.
11Écriture complexe d'une transformationTableau des écritures complexes et méthode de reconnaissance de z′ = az + b.
12Translationz′ = z + a : conservation des distances, angles et aires, exemple corrigé.
13Homothétiez′ − ω = k(z − ω) : centre, rapport, effet sur longueurs et aires.
14Rotationz′ − ω = e^(iθ)(z − ω) : isométrie directe, exemples de centre O et de centre Ω.
15SymétriesSymétrie centrale z′ = 2ω − z, axiales z′ = z̄, −z̄, i z̄.
16Similitudes directes & synthèsez′ = az + b : rapport |a|, angle arg a, centre ω = b/(1−a), compositions.
17Exercices 1 à 104Série unique numérotée en continu : exercices 1 à 54 (nombres complexes, du plus simple au plus complet) puis 55 à 104 (transformations du plan, cinq niveaux progressifs). Corrigés débloqués individuellement.

Forme algébrique et module

Tout nombre complexe a pour forme algébrique Z = a + bi avec a ∈ ℝ, b ∈ ℝ et i² = −1.

a = Re(Z) est la partie réelle de Z ;
b = Im(Z) est la partie imaginaire de Z.

|Z| = √(a² + b²)

Propriétés (∀ z, z′ ∈ ℂ, n ∈ ℕ)

|Z| = |−Z| = |Z̄| = |−Z̄|
∀ z ≠ 0 : |z′/z| = |z′|/|z| et |1/z| = 1/|z|
|Zⁿ| = |Z|ⁿ et |Z × Z′| = |Z| × |Z′|
Inégalité triangulaire : |z + z′| ≤ |z| + |z′|

Forme trigonométrique et argument

Z = r (cos θ + i sin θ)

avec r = |Z|, cos θ = Re(Z)/|Z| et sin θ = Im(Z)/|Z|. Le réel θ est un argument de Z, noté arg(Z).

Propriétés (k ∈ ℤ)

arg(z × z′) = arg(z) + arg(z′) + 2kπ
arg(zⁿ) = n · arg(z) + 2kπ
arg(1/z) = − arg(z) + 2kπ
arg(z/z′) = arg(z) − arg(z′) + 2kπ

Forme exponentielle · Moivre & Euler

Z = r e^(iθ) avec r = |Z|, θ ∈ ℝ

e^(iθ) = cos θ + i sin θ

Propriétés (∀ θ, θ′ ∈ ℝ, n ∈ ℕ)

e^(iθ) × e^(iθ′) = e^(i(θ+θ′))
(e^(iθ))ⁿ = e^(inθ) — formule de Moivre : (cos θ + i sin θ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ)
1 / e^(iθ) = e^(−iθ) et e^(iθ)/e^(iθ′) = e^(i(θ−θ′))
Conjugué : conj(e^(iθ)) = e^(−iθ)
Formules d'Euler : cos θ = (e^(iθ) + e^(−iθ))/2 et sin θ = (e^(iθ) − e^(−iθ))/(2i)

Représentation géométrique

Le plan est muni d'un repère orthonormé direct (O, I, J). L'axe (OI) est l'axe des réels, l'axe (OJ) l'axe des imaginaires purs.

Affixe du vecteur AB⃗ : Z_B − Z_A
AB⃗ = CD⃗ ⟺ Z_B − Z_A = Z_D − Z_C
Distance : AB = |Z_B − Z_A|
Angles orientés : mes(OI⃗ ; OB⃗) = arg(Z_B) + 2kπ et mes(AB⃗ ; CD⃗) = arg(Z_CD / Z_AB) + 2kπ

Résolution d'équations dans ℂ

5.1. Racine n-ième d'un nombre complexe

Soit Z ∈ ℂ et n ∈ ℕ (n ≥ 2). On appelle racine n-ième de Z tout complexe z tel que zⁿ = Z. Z admet n racines n-ièmes :

z_k = ⁿ√r · e^(i(θ/n + 2kπ/n)), k ∈ {0 ; 1 ; … ; n−1}

5.2. Équation du second degré `az² + bz + c = 0` (a ∈ ℂ*)

On calcule le discriminant Δ = b² − 4ac ;
on détermine les deux racines carrées de Δ (δ et −δ) ;
les solutions sont z = (−b ± δ)/(2a).

Méthode pour les racines carrées de Δ = X + iY : poser δ = x + iy, puis résoudre le système x² − y² = X, 2xy = Y, x² + y² = |Δ|.

Configurations géométriques

Configuration	Caractérisation complexe
Triangle ABC isocèle en A	(Z_C − Z_A)/(Z_B − Z_A) = e^(iθ) ou e^(−iθ)
Triangle ABC équilatéral	(Z_C − Z_A)/(Z_B − Z_A) = e^(iπ/3) ou e^(−iπ/3)
Triangle ABC rectangle isocèle en A	(Z_C − Z_A)/(Z_B − Z_A) = i ou −i
Triangle ABC rectangle en A	(Z_C − Z_A)/(Z_B − Z_A) = bi (b ∈ ℝ*)
(AB) ⊥ (CD)	(Z_D − Z_C)/(Z_A − Z_B) = bi (b ∈ ℝ*)
A, B, C alignés	(Z_C − Z_A)/(Z_B − Z_A) = b (b ∈ ℝ*)
A, B, C, D cocycliques	[(Z_C − Z_B)/(Z_C − Z_A)] : [(Z_D − Z_B)/(Z_D − Z_A)] = b (b ∈ ℝ*)

Écriture complexe d'une rotation de centre Ω(z_Ω) et d'angle θ : z′ = e^(iθ)(z − z_Ω) + z_Ω.

Exercices d'entraînement (corrigés)

Exercice 1 — Vrai ou Faux

📋 Données

1) Le conjugué de −3i − 2 est 3i − 2.
2) Le produit z × z̄ est un réel positif.
3) Le module d'une somme est la somme des modules.
4) z = r(−cos θ + i sin θ), r ∈ ℝ*, est une forme trigonométrique.
5) Si le discriminant est non nul, il admet deux racines carrées conjuguées.

✅ Solution

1) Vrai : conj(−2 − 3i) = −2 + 3i = 3i − 2.

2) Vrai : z × z̄ = a² + b² = |z|² ≥ 0.

3) Faux : on a seulement |z + z′| ≤ |z| + |z′| (inégalité triangulaire).

4) Faux : la forme trigonométrique exige r > 0 et le signe « + » devant cos θ.

5) Faux : les racines carrées de Δ ne sont conjuguées que si Δ est réel négatif.

1° V — 2° V — 3° F — 4° F — 5° F

Exercice 2 — QCM à trois propositions

📋 Données

1) Écriture complexe d'une rotation de centre Ω(z_Ω) et d'angle θ.
2) Formule de Moivre : (cos θ + i sin θ)ⁿ.
3) mes(EF⃗ ; GH⃗).
4) Formules d'Euler.

✅ Solution

1) B : z′ = e^(iθ)(z − z_Ω) + z_Ω.

2) C : cos(nθ) + i sin(nθ).

3) C : arg[(z_H − z_G)/(z_F − z_E)] + 2kπ.

4) A : cos θ = (e^(iθ) + e^(−iθ))/2 et sin θ = (e^(iθ) − e^(−iθ))/(2i).

1 → B ; 2 → C ; 3 → C ; 4 → A

Exercice 3 — Associer configuration et caractérisation

📋 Données

E, F, G d'affixes z_E, z_F, z_G.
Ensemble A : 1) EFG rectangle isocèle en F ; 2) E, F, G alignés ; 3) EFG isocèle en F ; 4) EFG rectangle en F ; 5) EFG équilatéral.
Ensemble B : A) (z_E − z_F)/(z_G − z_F) ∈ iℝ* ; B) ∈ {e^(−iπ/3) ; e^(iπ/3)} ; C) ∈ ℝ* ; D) ∈ {−i ; i} ; E) ∈ {e^(−iθ) ; e^(iθ)}.

✅ Solution

Le quotient (z_E − z_F)/(z_G − z_F) porte à la fois le rapport des longueurs (module) et l'angle en F (argument).

1 → D ; 2 → C ; 3 → E ; 4 → A ; 5 → B

Exercices de renforcement — Sujets de Bac corrigés

Exercice 1 — Bac E 1995 — session de remplacement

📋 Données

Plan complexe rapporté à (O, u⃗, v⃗).
a ∈ ℂ*, A point d'affixe a.
f : M(z) ↦ M′(z′) avec z′ = a³z + a − 1.

✅ Solution

1) Ensemble E₁ (f translation). f est une translation ⟺ a³ = 1. Racines cubiques de 1 :

E₁ = {1 ; −1/2 + i√3/2 ; −1/2 − i√3/2}

Pour a = 1 : f est l'identité. Pour a = −1/2 + i√3/2 : translation de vecteur d'affixe −3/2 + i√3/2. Pour a = −1/2 − i√3/2 : translation de vecteur d'affixe −3/2 − i√3/2.

2) Ensemble E₂ (f homothétie). f est une homothétie ⟺ a³ ∈ ℝ et a³ ≠ 1. En posant a = x + iy : a³ ∈ ℝ ⟺ y = 0 ou y = √3x ou y = −√3x.

E₂ = (ℝ* ∪ {x + i√3x} ∪ {x − i√3x}) privé de {−1/2 ± i√3/2}

Graphiquement : réunion des droites y = 0, y = √3x et y = −√3x, privée de O, K(−1/2 ; √3/2) et K′(−1/2 ; −√3/2).

3) Cas a = 1 + i. z′ = (1+i)³z + (1+i) − 1 = (−2 + 2i)z + i. Ici |a′| = 2√2, arg(a′) = 3π/4 et z_Ω = b/(1 − a′) = −2/13 + 3/13 i.

Similitude directe de rapport 2√2, d'angle 3π/4, de centre Ω(−2/13 ; 3/13)

4) Ensemble (G). Pour M₀ d'affixe 1 : z₀′ = a³ + a − 1. Avec a = x + iy : z₀′ ∈ ℝ ⟺ y(3x² − y² + 1) = 0 ⟺ y = 0 ou −x²/(1/√3)² + y² = 1.

(G) = droite (Δ) : y = 0 ∪ hyperbole (H) : −x²/(1/√3)² + y² = 1

Sommets de (H) : B(0 ; 1), B′(0 ; −1) ; sommets de l'axe transverse : A(1/√3 ; 0), A′(−1/√3 ; 0).

Exercice 2 — Bac C 1996 — session de remplacement

📋 Données

(E) : z³ + (−1 + 2i)z² − (1 + 2i)z − 3 + 4i = 0.
A(i), B(−1 − 2i), C(2 − i).
Repère orthonormé (O, u⃗, v⃗), unité 2 cm.

✅ Solution

1.a) Solution imaginaire pure. Posons z₀ = bi. z₀ ∈ (E) ⟺ (b² + 2b − 3) + (−b³ − 2b² − b + 4)i = 0. De b² + 2b − 3 = 0 : b = 1 ou b = −3 ; seul b = 1 vérifie aussi la partie imaginaire.

z₀ = i

1.b) Résolution. P(z) = (z − i)(z² + bz + c) ; par identification b = −1 + 3i et c = −4 − 3i. Δ = (−1 + 3i)² − 4(−4 − 3i) = 8 + 6i, racines carrées 3 + i et −3 − i.

S = {i ; −1 − 2i ; 2 − i}

2.a) Nature du triangle. AB = |−1 − 3i| = √10 ; AC = |2 − 2i| = √8 ; BC = |3 + i| = √10.

AB = BC = √10 : triangle ABC isocèle en B

2.b) Barycentre. OA⃗ + b·OB⃗ + c·OC⃗ = 0⃗ avec OA(0 ; 1), OB(−1 ; −2), OC(2 ; −1) ⟹ {−b + 2c = 0 ; 2b + c = 1}.

b = 2/5 et c = 1/5

Exercice 3 — Équation à coefficients réels et rotation

📋 Données

P(z) = z³ − 4z² + 6z − 4, ∀ z ∈ ℂ.
A(z₁), B(z₂), C(z₃) racines de P ; Im(z₁) > 0 et z₂ = conj(z₁).
R : rotation de centre O et d'angle π/2.
f : M(z ≠ 2) ↦ M′(z′) avec z′ = (z − (1 + i))/(z − 2).

✅ Solution

1.a) Les coefficients de P sont réels donc P(z̄) = conj(P(z)) pour tout z : les racines non réelles sont conjuguées deux à deux.

1.b) (1+i)² = 2i, (1+i)³ = −2 + 2i, d'où P(1+i) = (−2 + 2i) − 8i + 6 + 6i − 4 = 0.

P(1 + i) = 0

1.c) P(z) = (z − 1 − i)(z² + (−3 + i)z + 2 − 2i) ; Δ = 2i, racines carrées 1 + i et −1 − i.

S = {1 + i ; 1 − i ; 2}

2.a) A(1 + i), B(1 − i), C(2). R : z′ = iz. z_B′ = i(1 − i) = 1 + i = z_A ; z_C′ = 2i.

R(B) = A et affixe de R(C) = 2i

2.b) AB = |z_B − z_A| = |−2i| = 2 et OC = 2 ; O, B, A, C sont sur un même cercle de rayon (1/2)·AB.

Cercle de rayon 1

3.a) f(A) = 0 ; f(B) = ((1 − i) − (1 + i))/((1 − i) − 2) = 1 + i = z_A.

f(A) = O et f(B) = A

3.b) f(E) = C ⟺ (z_E − (1 + i))/(z_E − 2) = 2 ⟹ z_E = 3 − i.

z_E = 3 − i

3.c) (z_B − z_A)/(z_B − z_E) = (−2i)/(−2) = i ∈ iℝ*.

(AB) ⊥ (BE)

3.d) M sur la médiatrice de [AC] ⟹ AM = MC ⟹ |z′| = AM/MC = 1.

M′ décrit le cercle de centre O et de rayon 1

Exercice 4 — Équation bicarrée dans ℂ

📋 Données

(E) : z⁴ − 14iz² + 32 = 0.
Vérifications préalables : (1 − i)² et (1 + i)².

✅ Solution

1) (1 − i)² = 1 − 2i − 1 = −2i et (1 + i)² = 1 + 2i − 1 = 2i.

2.a) Si α est solution : (−α)⁴ − 14i(−α)² + 32 = α⁴ − 14iα² + 32 = 0, donc −α est aussi solution.

2.b) (z² + 2i)(z² − 16i) = z⁴ − 16iz² + 2iz² + 32 = z⁴ − 14iz² + 32 ✓

3) z² + 2i = 0 ⟺ z² = −2i = (1 − i)² ⟹ z = 1 − i ou z = −1 + i. z² = 16i : en posant z = x + iy, x² = 8, y² = 8, xy = 8 ⟹ z = 2√2 + 2√2 i ou z = −2√2 − 2√2 i.

S = {1 − i ; −1 + i ; 2√2 + 2√2 i ; −2√2 − 2√2 i}

Exercice 5 — Ensembles de points et fonction homographique

📋 Données

f(z) = (2z − i)/(z + 1 − i), z = x + iy.
B(z_B = (1/2)i) et C(z_C = −1/4 + 5/4 i).

✅ Solution

1.a) En multipliant par le conjugué du dénominateur :

Re(f(z)) = (2x² + 2x + 2y² − 3y + 1)/[(x+1)² + (y−1)²]

Im(f(z)) = (x + 2y − 1)/[(x+1)² + (y−1)²]

1.b) f(z) ∈ ℝ ⟺ Im(f(z)) = 0 ⟺ x + 2y − 1 = 0.

(E) : droite x + 2y − 1 = 0, privée de A(−1 ; 1)

1.c) f(z) ∈ iℝ ⟺ 2x² + 2x + 2y² − 3y + 1 = 0 ⟺ (x + 1/2)² + (y − 3/4)² = 5/16.

(F) : cercle de centre Ω(−1/2 ; 3/4) et de rayon √5/4

2.a) B vérifie les équations de (E) et de (F) ; C vérifie celle de (F).

2.b) (z_A − z_C)/(z_B − z_C) = −i = cos(−π/2) + i sin(−π/2).

Triangle ABC rectangle isocèle en C

Exercice 6 — Inversion complexe z′ = 1/z̄

📋 Données

f : M(z ≠ 0) ↦ M′(z′) avec z′ = z/|z|².
A(−1), B(i) ; (C) cercle de diamètre [AB], E milieu de [AB], E′ = f(E).

✅ Solution

1) OM′⃗ = (1/|z|²) OM⃗ avec 1/|z|² réel strictement positif : les vecteurs sont colinéaires.

O, M et M′ sont alignés

2) M invariant (M ≠ O) ⟺ z(1/|z|² − 1) = 0 ⟺ |z| = 1.

Γ : cercle de centre O et de rayon 1 ; |−1| = |i| = 1 donc A, B ∈ Γ

3) A(−1 ; 0), B(0 ; 1), E(−1/2 ; 1/2), AB = |1 + i| = √2.

z_E = −1/2 + 1/2 i, |z_E|² = 1/2 donc z_E′ = z_E/|z_E|² = −1 + i. Vérification : (−1 + 1/2)² + (1 − 1/2)² = 1/2.

E′ appartient bien à (C)

Exercice 7 — Cercle, diamètre et parallélisme

📋 Données

Repère orthonormal direct (O, u⃗, v⃗), unité 4 cm.
A(z_A = 2 + i), (Γ) cercle de centre A et de rayon √2.
B(1), C(3), M(3/5 + 6/5 i) ; (Γ′) cercle de diamètre [AB].

✅ Solution

2.a) M ∈ (Γ) avec y = 0 ⟺ (x − 2)² + 1 = 2 ⟺ x = 1 ou x = 3.

Points d'intersection avec (O, u⃗) : d'affixes 1 et 3

2.b) D diamétralement opposé à B : z_D = 2z_A − z_B = 2(2 + i) − 1.

z_D = 3 + 2i

3.a) (z_D − z_M)/(z_B − z_M) = (12 + 4i)/(2 − 6i) = 2i.

3.b) arg(2i) = π/2 = mes(MB⃗ ; MD⃗) : le triangle MDB est rectangle en M.

M appartient au cercle de diamètre [BD], c'est-à-dire à (Γ)

4.a) (DM) ⊥ (BM) et N ∈ (Γ′) donc (BN) ⊥ (AN) ; comme N ∈ (BM), (DM) et (AN) sont perpendiculaires à la même droite (BM).

(DM) ∥ (AN)

4.b) Dans le triangle MDB, A est le milieu de [BD] et (AN) ∥ (DM), donc N est le milieu de [BM].

z_N = (z_M + z_B)/2 = 4/5 + 3/5 i

Exercice 8 — Bac E 1996 — session normale

📋 Données

(E) : z³ + (1 − 6i)z² − (17 + 8i)z − 33 + 30i = 0.
M₀, M₁, M₂ d'affixes z₀ = −3, z₁, z₂ ; unité 1 cm.
G barycentre de (M₀, −1), (M₁, 1), (M₂, 1).

✅ Solution

1.a) P(−3) = −27 + 9 − 54i + 51 + 24i − 33 + 30i = 0.

−3 est solution de (E)

1.b) P(z) = (z + 3)(z² − (2 + 6i)z − 11 + 10i) ; Δ = 12 − 16i, racines carrées 4 − 2i et −4 + 2i.

S = {−3 ; −1 + 4i ; 3 + 2i}

2.b) M₁M₀ = √20 = 2√5 ; M₁M₂ = √20 = 2√5 et M₁M₀⃗ · M₁M₂⃗ = 0.

M₀M₁M₂ est rectangle isocèle en M₁

3.a) Avec K milieu de [M₁M₂], G est le barycentre de (M₀, −1) et (K, 2) : K est le milieu de [M₀G].

G est le symétrique de M₀ par rapport à K

3.b) GM₁² = M₀M₂² = 40 ; GM₂² = M₀M₁² = 20 ; GM₀² = 4·M₀K² = 100 ⟹ MG² = 100 − 40 − 2(20) = 20 ⟹ MG = 2√5 = GM₂.

Exercice 9 — Barycentre, suite géométrique et similitude

📋 Données

(E) : z³ + (1 − 8i)z² − (23 + 4i)z − 3 + 24i = 0.
A(1 + 2i), B(3i), C(−2 + 3i) ; G barycentre de (A, 2), (B, −2), (C, 1).

✅ Solution

1.a) Pour x réel, ix ∈ (E) ⟺ −x² + 4x − 3 = 0 et −x³ + 8x² − 23x + 24 = 0 ; x = 1 ou x = 3 pour la première, seul x = 3 vérifie la seconde.

Solution imaginaire pure : 3i

1.b) Factorisation : (z − 3i)(z² + (1 − 5i)z − 8 − i) ; Δ = 8 − 6i, racines carrées 3 − i et −3 + i.

S = {3i ; 1 + 2i ; −2 + 3i}

2.a) z_GA = 1 + i = √2 e^(iπ/4) ; z_GB = 2i = 2 e^(iπ/2) ; z_GC = −2 + 2i = 2√2 e^(i3π/4).

2.b) z_GB = √2 e^(iπ/4) · z_GA et z_GC = √2 e^(iπ/4) · z_GB.

Suite géométrique de raison √2 e^(iπ/4)

2.c) La similitude directe de centre G, de rapport √2 et d'angle π/4 envoie A sur B et B sur C.

Similitude directe : centre G, rapport √2, angle π/4

Exercice 10 — Racines sixièmes et congruences

📋 Données

a = √2(cos π/6 + i sin π/6), b = √2(cos π/4 + i sin π/4), c = √2(cos π/3 + i sin π/3).
(E) : z⁶ = −8i ; j = −1/2 + i√3/2.

✅ Solution

A.1) a⁶ = (√2)⁶ e^(iπ) = −8 ; b⁶ = (√2)⁶ e^(i3π/2) = −8i ; c⁶ = (√2)⁶ e^(i2π) = 8.

a⁶ = −8 ; b⁶ = −8i ; c⁶ = 8

A.2) Comme b⁶ = −8i, b = √2 e^(iπ/4) = 1 + i est une solution de (E).

A.3.a) j = e^(i2π/3) donc j³ = e^(i2π) = 1.

A.3.b) (jb)⁶ = j⁶b⁶ = (j³)²b⁶ = b⁶ = −8i, de même (j²b)⁶ = −8i : jb et j²b sont solutions.

A.3.c) Les six racines sont b·e^(ikπ/3), k = 0 … 5, c'est-à-dire ±(1 + i), ±j(1 + i) et ±j²(1 + i).

S = {±(1 + i) ; ±(−(1+√3)/2 + (√3−1)/2 · i) ; ±((√3−1)/2 − (1+√3)/2 · i)}

B.1) x ≡ 0 [6] et x ≡ 3 [4] : x pair d'après la première, impair d'après la seconde — le système n'a pas de solution dans ℤ.

B.2) aⁿ = (√2)ⁿ e^(inπ/6) réel ⟺ n ≡ 0 [6] ; bⁿ = (√2)ⁿ e^(inπ/4) imaginaire pur ⟺ n ≡ 2 [4]. En combinant : n ≡ 6 [12].

n ≡ 6 (mod 12), soit n ∈ {6 ; 18 ; 30 ; …}

Exercices d'approfondissement (non corrigés)

Ces deux exercices sont à traiter en autonomie ou en classe : la correction est faite avec le professeur.

Exercice 11 — Suite de points et modules

📋 Données

Partie I : 9z² − 6z + 2 = 0, solutions u (Im > 0) et v.
Partie II : z₀ = 1 et z_(n+1) = ((1+i)/3) z_n.

I.1) Résoudre l'équation ; I.2) écrire u et v sous forme trigonométrique.
II.1) U_n = arg(z_n) : montrer que (U_n) est arithmétique de raison π/4, puis exprimer U_n.
II.2) V_n = |z_n| : montrer que (V_n) est géométrique de raison √2/3, puis exprimer V_n.
II.3) En déduire z_n en fonction de n.
II.4) Pour quelles valeurs de n, z_n est-il réel ? imaginaire pur ?
II.5) Calculer W_n = |z_(n+1) − z_n|. II.6) K_n = W₀ + … + W_n : expression et limite.

Exercice 12 — Polynôme, triangle et cocyclicité

📋 Données

Partie A : P(z) = z³ − (1 + i)z² − 2(1 + i)z + 8.
Partie B : A(−2), B(1 − i), C(2 + 2i), F(−1 + 3i), unité 2 cm.

A.1) Vérifier P(−2) = 0 ; A.2) déterminer b, c tels que P(z) = (z + 2)(z² + bz + c) ; A.3) résoudre P(z) = 0.
B.1) Faire une figure.
B.2.a) Montrer que ABC est isocèle rectangle en B ; b) que A, B, C, F sont cocycliques ; c) déterminer les mesures principales de (AB⃗ ; AC⃗) et (AB⃗ ; CA⃗) ; d) déterminer l'ensemble (E) des M(z) tels que |iz + 1| = 5.

À retenir

i² = −1 ; |Z| = √(a² + b²) ; z · z̄ = |z|²
Z = r e^(iθ) ; Moivre : (e^(iθ))ⁿ = e^(inθ) ; Euler : cos θ = (e^(iθ)+e^(−iθ))/2
Second degré : Δ = b² − 4ac puis racines carrées de Δ, enfin z = (−b ± δ)/(2a)
Racines n-ièmes : z_k = ⁿ√r e^(i(θ/n + 2kπ/n)), k = 0 … n−1
Géométrie : le quotient (z_C − z_A)/(z_B − z_A) donne longueurs (module) et angle (argument)
Rotation : z′ = e^(iθ)(z − z_Ω) + z_Ω ; similitude directe : z′ = az + b, centre z_Ω = b/(1 − a)

Écriture complexe d'une transformation

Une transformation du plan associe à tout point $M$ d'affixe $z$ un point $M^{'}$ d'affixe $z^{'}$ . La relation entre $z$ et $z^{'}$ s'appelle l'écriture complexe de la transformation.

Transformation	Écriture complexe	Éléments caractéristiques
Translation $t_{u}$	$z^{'} = z + a$	vecteur $u$ d'affixe $a$
Homothétie $h (Ω, k)$	$z^{'} - ω = k (z - ω), k \in R^{*}$	centre $Ω (ω)$ , rapport $k$
Rotation $r (Ω, θ)$	$z^{'} - ω = e^{i θ} (z - ω)$	centre $Ω (ω)$ , angle $θ$
Symétrie centrale $S_{Ω}$	$z^{'} = 2 ω - z$	homothétie de rapport $- 1$
Symétrie axiale (axe $(O x)$ )	$z^{'} = z ˉ$	axe des réels
Similitude directe	$z^{'} = a z + b, a \in C^{*}$	rapport $∣ a ∣$ , angle $ar g a$

Méthode générale : pour reconnaître une transformation d'écriture

z^{'} = a z + b

:
• si

a = 1

→ translation de vecteur d'affixe

b

;
• si

a \neq = 1

→ il existe un unique point fixe

ω = \frac{b}{1 - a}

;
• si de plus

a \in R^{*}

→ homothétie

h (Ω, a)

; si

∣ a ∣ = 1

→ rotation d'angle

ar g a

; sinon similitude directe de rapport

∣ a ∣

et d'angle

ar g a

Translation

La translation de vecteur $u$ d'affixe $a$ transforme $M (z)$ en $M^{'} (z^{'})$ avec $z^{'} = z + a$ . Elle conserve les distances, les angles orientés, les aires et transforme toute droite en une droite parallèle.

Exemple 11 — translation

Le plan est muni d'un repère orthonormé direct. On considère la translation

t

de vecteur

u

d'affixe

a = 3 - 2 i

et les points

A (1 + i)

B (- 2 + 4 i)

. Déterminer les affixes de

A^{'} = t (A)

B^{'} = t (B)

, puis vérifier que

A^{'} B^{'} = A B

📋 Données

Affixe du vecteur : $a = 3 - 2 i$
$z_{A} = 1 + i$ ; $z_{B} = - 2 + 4 i$
Écriture complexe : $z^{'} = z + a$

✅ Solution

$z_{A^{'}} = z_{A} + a = (1 + i) + (3 - 2 i) = 4 - i$
$z_{B^{'}} = z_{B} + a = (- 2 + 4 i) + (3 - 2 i) = 1 + 2 i$
$A B = ∣ z_{B} - z_{A} ∣ = ∣ - 3 + 3 i ∣ = 32$
$A^{'} B^{'} = ∣ z_{B^{'}} - z_{A^{'}} ∣ = ∣ - 3 + 3 i ∣ = 32$
$z_{A^{'}} = 4 - i, z_{B^{'}} = 1 + 2 i, A^{'} B^{'} = A B = 32$

Homothétie

L'homothétie de centre $Ω (ω)$ et de rapport $k \in R^{*}$ a pour écriture complexe $z^{'} - ω = k (z - ω)$ . Elle multiplie les longueurs par $∣ k ∣$ et les aires par $k^{2}$ ; elle conserve les angles orientés si $k > 0$ .

Exemple 12 — homothétie

Soit

h

l'homothétie de centre

Ω (2 + i)

et de rapport

k = 3

. Déterminer l'écriture complexe de

h

puis l'image de

M (- 1 + 2 i)

📋 Données

$ω = 2 + i$
$k = 3$
$z_{M} = - 1 + 2 i$
Écriture : $z^{'} - ω = k (z - ω)$

✅ Solution

$z^{'} = 3 (z - (2 + i)) + (2 + i) = 3 z - 6 - 3 i + 2 + i$
Donc $z^{'} = 3 z - 4 - 2 i$ : écriture complexe de $h$ .
$z_{M^{'}} = 3 (- 1 + 2 i) - 4 - 2 i = - 3 + 6 i - 4 - 2 i$
$z^{'} = 3 z - 4 - 2 i et z_{M^{'}} = - 7 + 4 i$

Rotation

La rotation de centre $Ω (ω)$ et d'angle $θ$ s'écrit $z^{'} - ω = e^{i θ} (z - ω)$ . Elle conserve les distances et les angles orientés : c'est une isométrie directe.

Exemple 13 — rotation

Soit

r

la rotation de centre

O

et d'angle

\frac{π}{2}

. Déterminer l'image de

A (3 + i)

, puis l'écriture complexe de la rotation de centre

Ω (1 - i)

et d'angle

\frac{π}{2}

📋 Données

Rotation 1 : centre $O (0)$ , angle $θ = \frac{π}{2}$ , donc $e^{iπ /2} = i$
$z_{A} = 3 + i$
Rotation 2 : centre $Ω (1 - i)$ , même angle

✅ Solution

$z_{A^{'}} = i \cdot z_{A} = i (3 + i) = 3 i - 1$ , soit $z_{A^{'}} = - 1 + 3 i$ .
Rotation de centre $Ω$ : $z^{'} - (1 - i) = i (z - (1 - i))$
$z^{'} = i z - i (1 - i) + 1 - i = i z - i - 1 + 1 - i$
$z_{A^{'}} = - 1 + 3 i et z^{'} = i z - 2 i$

Symétries

Symétrie centrale de centre $Ω (ω)$ : $z^{'} = 2 ω - z$ (homothétie de rapport $- 1$ ). Symétrie par rapport à l'axe des réels : $z^{'} = z ˉ$ ; par rapport à l'axe des imaginaires : $z^{'} = - z ˉ$ ; par rapport à la droite d'équation $y = x$ : $z^{'} = i z ˉ$ .

Exemple 14 — symétries

Soit

M (4 - 3 i)

. Déterminer les images de

M

par : a) la symétrie centrale de centre

Ω (1 + i)

; b) la symétrie d'axe

(O x)

; c) la symétrie d'axe la droite

y = x

📋 Données

$z_{M} = 4 - 3 i$
$ω = 1 + i$
$S_{Ω} : z^{'} = 2 ω - z$ ; axe $(O x)$ : $z^{'} = z ˉ$ ; droite $y = x$ : $z^{'} = i z ˉ$

✅ Solution

a) $z^{'} = 2 (1 + i) - (4 - 3 i) = 2 + 2 i - 4 + 3 i = - 2 + 5 i$
b) $z^{'} = 4 - 3 i = 4 + 3 i$
c) $z^{'} = i 4 - 3 i = i (4 + 3 i) = 4 i - 3 = - 3 + 4 i$
$a) - 2 + 5 i b) 4 + 3 i c) - 3 + 4 i$

Similitudes directes & synthèse

Toute application $z^{'} = a z + b$ avec $a \in C^{*}$ est une similitude directe de rapport $∣ a ∣$ et d'angle $ar g a$ . Si $a \neq = 1$ , son centre est le point fixe $ω = \frac{b}{1 - a}$ . Une similitude directe multiplie les distances par $∣ a ∣$ , conserve l'orientation des angles et transforme un cercle de rayon $R$ en un cercle de rayon $∣ a ∣ R$ .

Exemple 15 — reconnaître une similitude

Soit

f

l'application qui à tout point

M (z)

associe

M^{'} (z^{'})

tel que

z^{'} = (1 + i) z + 2 - 4 i

. Reconnaître

f

en précisant tous ses éléments caractéristiques.

📋 Données

$z^{'} = a z + b$ avec $a = 1 + i$ et $b = 2 - 4 i$
Rapport $= ∣ a ∣$ , angle $= ar g a$ , centre $ω = \frac{b}{1 - a}$

✅ Solution

$∣ a ∣ = ∣1 + i ∣ = 2$ et $ar g a = \frac{π}{4}$ car $1 + i = 2 e^{iπ /4}$ .
$ω = \frac{2 - 4 i}{1 - ( 1 + i )} = \frac{2 - 4 i}{- i} = \frac{( 2 - 4 i ) i}{- i \cdot i} = \frac{2 i + 4}{1} = 4 + 2 i$
$f$ est la similitude directe de centre $Ω (4 + 2 i)$ , de rapport $2$ et d'angle $\frac{π}{4}$ .
$Ω (4 + 2 i), k = 2, θ = \frac{π}{4}$

Exemple 16 — composition de transformations

On considère la rotation

r

de centre

O

et d'angle

\frac{π}{3}

, puis l'homothétie

h

de centre

O

et de rapport

2

. Déterminer l'écriture complexe de

h \circ r

et la nature de cette transformation.

📋 Données

$r : z^{'} = e^{iπ /3} z$
$h : z^{'} = 2 z$
Composée : appliquer $r$ puis $h$

✅ Solution

$r (z) = e^{iπ /3} z$ puis $h (r (z)) = 2 e^{iπ /3} z$
$e^{iπ /3} = \frac{1}{2} + i \frac{3}{2}$ , donc $2 e^{iπ /3} = 1 + i 3$
$h \circ r : z^{'} = (1 + i 3) z$
C'est la similitude directe de centre $O$ , de rapport $2$ et d'angle $\frac{π}{3}$ .
$z^{'} = (1 + i 3) z, similitude (O, 2, π /3)$

À retenir : translation

z^{'} = z + a

· homothétie

z^{'} = k (z - ω) + ω

· rotation

z^{'} = e^{i θ} (z - ω) + ω

· similitude

z^{'} = a z + b

avec

ω = \frac{b}{1 - a}

Exercices 1 à 54 — Nombres complexes

Exercices 1 à 54 — du début à la fin du cours

Organisés dans l'ordre exact du cours, section par section (A → H). Traite d'abord l'exercice seul, puis ouvre « Voir la solution détaillée » pour comparer avec la correction.

AForme algébrique

Calculer (2+3i) + (4−5i).

Calculer (1−2i) − (3+i).

Calculer (2+i)(3−i).

Calculer (1+i)² puis (1−i)².

Écrire 1/(1+i) sous forme algébrique.

Déterminer les réels a et b tels que (a+bi)(1−i) = 3+i.

Déterminer le conjugué de Z = (2−3i)(1+i), puis vérifier que Z×Z̄ est réel.

BModule d'un nombre complexe

Calculer le module de Z = 3+4i.

Calculer le module de Z = 1−i.

Calculer |Z| pour Z = (2+i)(1−i).

Sachant que |Z| = 5 et Z = 3+bi avec b>0, déterminer b.

Avec Z=1+i et Z'=2−i, vérifier que |Z×Z'| = |Z|×|Z'|.

Calculer le module de Z = (1+i)/(1−i).

CForme trigonométrique

Déterminer la forme trigonométrique de Z = 1+i.

Déterminer la forme trigonométrique de Z = −1+i√3.

Déterminer la forme trigonométrique de Z = √3−i.

Écrire sous forme algébrique Z = 2(cos(π/3)+i sin(π/3)).

Déterminer le module et un argument de Z = −3.

Déterminer le module et un argument de Z = 4i.

Sachant arg(Z)=π/4 et arg(Z')=π/6, déterminer arg(Z×Z') et arg(Z/Z').

DForme exponentielle

Écrire Z = 1+i sous forme exponentielle.

Écrire Z = √2·e^(iπ/4) sous forme algébrique.

Calculer (e^(iπ/3))⁴ sous forme exponentielle, puis sous forme algébrique.

Simplifier e^(iπ/2) × e^(iπ/3).

Simplifier e^(iπ) / e^(iπ/4).

En utilisant la formule d'Euler, exprimer cos(π/3) à partir des exponentielles complexes, puis vérifier le résultat.

Calculer le conjugué de e^(i2π/3), et l'écrire sous forme exponentielle.

EReprésentation géométrique

Placer les points A(2+i) et B(−1+3i) dans le plan complexe (repère (O,I,J)).

A(1+2i), B(3−i). Calculer l'affixe du vecteur AB.

A(2+i), B(−1+i). Calculer la longueur AB.

A(3+2i), B(−1+4i). Déterminer l'affixe du milieu de [AB].

A(1+i), B(4−2i). Déterminer l'affixe du barycentre G de (A,2) et (B,1).

A(0), B(3), C(4+2i), D(1+2i). Démontrer que ABCD est un parallélogramme.

FRacines n-ièmes d'un nombre complexe

Déterminer les racines carrées de Δ = 3+4i.

Résoudre dans ℂ : z² = −1.

Déterminer les trois racines cubiques de l'unité (résoudre z³=1), et les écrire sous forme exponentielle.

Résoudre dans ℂ : z³ = 8 (on cherchera d'abord une solution réelle évidente).

Résoudre dans ℂ : z³ = −1.

Déterminer les quatre racines quatrièmes de 16.

Résoudre dans ℂ : z⁴ = 1, et représenter les solutions dans le plan complexe.

GÉquation du second degré dans ℂ

Résoudre dans ℂ : z² − 2z + 5 = 0.

Résoudre dans ℂ : z² + z + 1 = 0.

Résoudre dans ℂ : z² − 4z + 13 = 0.

Résoudre dans ℂ : z² − 6z + 10 = 0.

Résoudre dans ℂ : z² + 2z + 2 = 0.

Résoudre dans ℂ : z² − (3+i)z + (2+2i) = 0.

Sachant que 2 est solution de z³ − 2z² + 4z − 8 = 0, résoudre entièrement cette équation dans ℂ.

HConfigurations géométriques

A(1), B(2+i), C(2i). Le triangle ABC est-il isocèle en A ? Justifier à l'aide des complexes.

A(0), B(1), C(1/2+i√3/2). Montrer que le triangle ABC est équilatéral.

A(0), B(2), C(1+i). Montrer que le triangle ABC est rectangle isocèle en A.

A(1), B(3), C(0), D(4). Étudier le parallélisme ou la perpendicularité des droites (AB) et (CD).

A(0), B(2), C(4). Montrer que A, B, C sont alignés.

A(0), B(1), C(1+i), D(i). Montrer que A, B, C, D sont cocycliques (reconnaître la figure formée).

A(i), B(1), C(−1). Déterminer la nature précise du triangle ABC à l'aide d'un quotient complexe.

Exercices 55 à 104 — Transformations du plan

Exercices 55 à 104 — Nombres complexes & transformations du plan

Cinq niveaux de difficulté, du calcul d'image direct à la synthèse Bac. Chaque corrigé s'affiche ou se masque avec « Voir la solution détaillée ».

1Niveau très facile — images directes★

55Soit

z = 2 + 3 i

. On applique la translation d'affixe

a = 4 - i

. Déterminer

z^{'}

z = - 1 + 5 i

. Translation d'affixe

a = 2 + 3 i

. Déterminer

z^{'}

z = 3 - 2 i

. Translation d'affixe

a = - 5 + i

. Déterminer

z^{'}

58Déterminer l'image de

A (2 + i)

par l'homothétie de centre

O

et de rapport

k = 3

z = - 2 + 4 i

. Homothétie de centre

O

, rapport

k = - 2

A (3 + 2 i)

. Rotation de centre

O

et d'angle

θ = \frac{π}{2}

z = 4 - i

. Rotation de centre

O

et d'angle

θ = π

A (2 + 3 i)

. Déterminer son image par la symétrie centrale de centre

O

z = 5 - 2 i

. Déterminer son image par la symétrie d'axe réel

(O x)

A (1 + 4 i)

B (3 + 7 i)

. Déterminer l'affixe du vecteur

A B

2Niveau facile — images, vecteurs et centres★★

65Une translation transforme

A (2 + i)

A^{'} (5 + 4 i)

. Déterminer l'affixe de son vecteur.

66Une translation d'affixe

a = 3 - 2 i

transforme

M (z)

M^{'} (7 + i)

. Trouver

z

67Homothétie de centre

Ω (1 + i)

et de rapport

k = 2

. Trouver l'image de

z = 3 + 2 i

68Homothétie de centre

Ω (2 - i)

et de rapport

k = - 1

. Trouver l'image de

z = 4 + 3 i

69Rotation de centre

Ω (1)

et d'angle

\frac{π}{2}

. Image de

z = 2 + i

70Rotation de centre

Ω (2 i)

et d'angle

π

. Image de

z = 3 + i

71Déterminer le centre de la symétrie centrale qui transforme

z = 2 + i

z^{'} = 6 + 5 i

72La transformation

z^{'} = z + 2 i

est-elle une translation ?

73Déterminer la nature de

z^{'} = 3 z

74Déterminer la nature de

z^{'} = - z

3Niveau moyen — reconnaître la transformation★★★

75Déterminer la nature de

z^{'} = i z

76Déterminer la nature de

z^{'} = e^{iπ /3} z

77Déterminer l'image de

z = 2 - i

par

z^{'} = i z

78Déterminer l'image de

z = 1 + 2 i

par la rotation de centre

O

et d'angle

- \frac{π}{2}

79On considère

z^{'} = 2 z + 1 - i

. Identifier la transformation.

80On considère

z^{'} = - 2 z + 3 + i

. Déterminer le centre et le rapport.

81Déterminer la nature de

z^{'} = z + 3 - 2 i

82Déterminer la nature de

z^{'} = 2 i z

83Déterminer l'image de

z = 1 - i

par

z^{'} = 2 i z

84Soient

A (1 + i)

B (3 + 2 i)

. Déterminer

\frac{z _{B}}{z _{A}}

4Niveau difficile — formes canoniques et quotients★★★★

85Soit

z^{'} = e^{iπ /3} (z - 2) + 2

. Identifier la transformation.

86Soit

z^{'} = - 2 (z + 1) + i

. Identifier la transformation.

87Déterminer l'image de

z = 2 + i

par

z^{'} = e^{iπ /2} (z - 1) + 1

88Déterminer le centre et l'angle sachant que

z^{'} - 3 i = i (z - 3 i)

89Une transformation vérifie

\frac{z ^{'} - 2}{z - 2} = i

. Identifier cette transformation.

90On donne

\frac{z ^{'} - 1 - i}{z + 2 - i} = - 1

. Identifier la transformation.

91Montrer que

z^{'} = i z + 2 - i

est une rotation, puis en donner le centre et l'angle.

92Déterminer l'image de

z = 3 + 2 i

par

z^{'} = e^{iπ} (z - 1 + i) + 1 - i

93Déterminer l'image de

z = 1 + 3 i

par l'homothétie

z^{'} - 2 = 3 (z - 2)

94Déterminer la nature et le centre de

z^{'} = e^{iπ /4} z + 2

5Niveau très difficile — similitudes directes & synthèse★★★★★

95Soit

z^{'} = (1 + i) z + 2

. Montrer qu'il s'agit d'une similitude directe et donner son rapport et son angle.

96Déterminer le centre de la similitude

z^{'} = (1 + i) z + 2

97Soit

z^{'} = (1 - i) z + 3 + i

. Déterminer le rapport et l'angle.

98Déterminer le centre de

z^{'} = (1 - i) z + 3 + i

99On considère

z^{'} = e^{i θ} z + b

. Montrer que le point fixe éventuel est

ω = \frac{b}{1 - e ^{i θ}}

100On considère

z^{'} = i z + 1

. Déterminer son centre de rotation et son angle.

101On considère

z^{'} = - i z + 2

. Déterminer le centre et l'angle.

102Une rotation de centre

Ω (ω)

transforme

A (z_{A})

B (z_{B})

. Montrer que

\frac{z _{B} - ω}{z _{A} - ω} = 1

103Déterminer la nature de la transformation définie par

\frac{z ^{'} - 2}{z - 2} = 2 e^{iπ /3}

104Synthèse : soit

z^{'} = (1 + i) z + 2 - 2 i

. Déterminer sa nature, son rapport, son angle, son centre, puis l'image de

A (1 + i)

Évaluation officielle

QCM unifié du cours — Nombres complexes & transformations (toutes les séries fusionnées)

Le QCM d'évaluation est encadré par le professeur. Pour y accéder :

1. Renseigne ton nom, prénom, classe et date de naissance.
2. Le professeur reçoit ta demande sur Telegram et l'autorise.
3. Dès l'autorisation, le QCM démarre automatiquement.

60 min chrono50 questionsQuestions mélangées

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Le mode entraînement est libre : pas de chrono, pas d'autorisation, la correction s'affiche après chaque question.

Mathématiques N°1 — Nombres complexes

Sommaire

5.1. Racine n-ième d'un nombre complexe

5.2. Équation du second degré az² + bz + c = 0 (a ∈ ℂ*)

Exercices 1 à 54 — du début à la fin du cours

AForme algébrique

BModule d'un nombre complexe

CForme trigonométrique

DForme exponentielle

EReprésentation géométrique

FRacines n-ièmes d'un nombre complexe

GÉquation du second degré dans ℂ

HConfigurations géométriques

Exercices 55 à 104 — Nombres complexes & transformations du plan

1Niveau très facile — images directes★

2Niveau facile — images, vecteurs et centres★★

3Niveau moyen — reconnaître la transformation★★★

4Niveau difficile — formes canoniques et quotients★★★★

5Niveau très difficile — similitudes directes & synthèse★★★★★

QCM unifié du cours — Nombres complexes & transformations (toutes les séries fusionnées)

5.2. Équation du second degré `az² + bz + c = 0` (a ∈ ℂ*)