Vecteurs position, vitesse, accélération · MRU, MRUV, MCU
Premier cours de Physique de Terminale (Bac C, D & E — TSE, TSM). On y définit les vecteurs position, vitesse et accélération, puis on établit les équations horaires des mouvements rectiligne uniforme (MRU), rectiligne uniformément varié (MRUV) et circulaire uniforme (MCU). Le cours se termine par des exercices résolus (trajectoire, mouvement plan, policier / automobiliste, train en trois phases).
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C'est le cas particulier de la trajectoire rectiligne. Le mobile est repéré par une coordonnée cartésienne x(t) sur un axe x qui coïncide avec la trajectoire. Ceci implique le choix d'une origine, d'un sens et d'une unité de mesure de longueur.
La vitesse d'un mobile caractérise la variation de sa position au cours du temps. Soit deux positions du mobile P₁ et P₂ à deux instants t₁ et t₂ (t₁ < t₂) :
v_m(t₁, t₂) = (x₂ − x₁) / (t₂ − t₁) = Δx / Δt
où x₁ et x₂ sont les coordonnées de P₁ et P₂, et Δx est le déplacement du mobile pendant l'intervalle [t₁ ; t₂].
La vitesse instantanée d'un point matériel est la dérivée de sa coordonnée spatiale x par rapport au temps t, à l'instant considéré :
v = dx/dt ⟹ x(t) = x(t₀) + ∫ᵗ₀ᵗ v(t′) dt′
Ceci implique la connaissance de la position du mobile à un instant donné t₀, soit x(t₀).
Remarque — Si Δt est très petit, la vitesse instantanée se confond avec la vitesse moyenne (cas d'un enregistrement sur table à coussin d'air) :v_n = (x_{n+1} − x_{n−1}) / (t_{n+1} − t_{n−1}) = (x_{n+1} − x_{n−1}) / (2τ) ; τ est l'intervalle de temps entre deux positions consécutives.
L'accélération d'un mobile caractérise la variation de sa vitesse au cours du temps. Elle est la dérivée de sa vitesse par rapport au temps :
a = dv/dt ⟹ v(t) = v(t₀) + ∫ᵗ₀ᵗ a(t′) dt′
Connaissance requise de la vitesse à un instant donné t₀, soit v(t₀).
Remarque — Cas d'une table à coussin d'air : a_n = (v_{n+1} − v_{n−1}) / (2τ).
a) Mouvement Rectiligne Uniforme (MRU). Vitesse constante : v(t) = v₀. Donc :
a = dv₀/dt = 0x(t) = x₀ + v₀ (t − t₀)où x₀ et v₀ représentent respectivement la position et la vitesse à la date initiale.
b) Mouvement Rectiligne Uniformément Varié (MRUV). Accélération constante : a = a₀. Donc :
v(t) = v₀ + a₀ (t − t₀)x(t) = x₀ + v₀(t − t₀) + ½ a₀ (t − t₀)²Conséquence (relation indépendante du temps) : v² − v₀² = 2 a (x − x₀).
c) Résumé.
| Signe de a⃗ · v⃗ | Nature du mouvement |
|---|---|
| a⃗ · v⃗ > 0 | Mouvement rectiligne accéléré |
| a⃗ · v⃗ < 0 | Mouvement rectiligne retardé |
| a⃗ · v⃗ = 0 | Mouvement rectiligne uniforme |
a) Vecteur position : OM⃗ = x_M i⃗ + y_M j⃗ + z_M k⃗. Le module : OM = √(x_M² + y_M² + z_M²).
b) Vecteur vitesse :
v⃗ = dOM⃗/dt = ẋ i⃗ + ẏ j⃗ + ż k⃗ avec v_x = ẋ ; v_y = ẏ ; v_z = ż.
Module : v = √(v_x² + v_y² + v_z²).
c) Vecteur accélération :
a⃗ = dv⃗/dt = ẍ i⃗ + ÿ j⃗ + z̈ k⃗ avec a_x = ẍ ; a_y = ÿ ; a_z = z̈.
Module : a = √(a_x² + a_y² + a_z²).
OM⃗ = s_M.v⃗ = (ds/dt) τ⃗.a⃗ = (dv/dt) τ⃗ + (v²/R) n⃗, avec a_t = dv/dt et a_n = v²/R.a) Définition — Le mouvement est circulaire uniforme si la trajectoire est un cercle et la vitesse constante.
b) Équations horaires — θ = ω t + θ₀ et s = v₀ t + s₀.
c) Quelques grandeurs caractéristiques :
| Période T (s) | Fréquence N (Hz) | Abscisses s (m) et θ (rad) | Vitesse angulaire ω (rad/s) | Accélération a (m/s²) |
|---|---|---|---|---|
T = 2π/ω | N = 1/T | s = R θ | ω = dθ/dt = (1/R)(ds/dt) = v/R | a⃗ = (v²/R) n⃗ = ω² R n⃗ |
On appelle trajectoire d'un mobile l'ensemble des positions successives qu'il occupe au cours du temps.
La trajectoire d'un mobile peut être rectiligne (droite) ou curviligne (courbe). Elle est déterminée par son équation.
| Équation de la trajectoire | Nature |
|---|---|
| y = a x + b | Droite |
| y = a x² + b x + c | Parabole |
| x² + y² = a² | Cercle de rayon a |
Remarque — Le cercle (trajectoire circulaire) est un cas particulier de courbe.
Comment déterminer l'équation d'une droite d'une représentation v = f(t) ?
La courbe obtenue est une droite donc son équation est de la forme v = k t + b.
k est le coefficient directeur de la droite. On choisit deux points A et B appartenant effectivement à la droite. Ainsi :
k = Δv / Δt = (v_B − v_A) / (t_B − t_A) (ou : (v_A − v_B) / (t_A − t_B)).
Remarque — Avant les calculs, s'assurer que les vitesses sont en m/s et les temps en s ; sinon faire les conversions.
Δv en m/s et Δt en s ⇒ unité de k : m/s ÷ s soit m·s⁻² (ou m/s²).
Conclusion — On retrouve l'équation horaire d'un MRUV : v = a t + v₀.
Sept exercices résolus, pages I-25 à I-27 (énoncés) et I-30 à I-36 (corrigés). Chaque exercice inclut son énoncé, son schéma et sa correction pas à pas.
Énoncé. Les équations horaires du mouvement d'un point mobile M sont : x(t) = t, y(t) = 3 t + 2, z(t) = 0.
✍️ Solution
📋 Données
1. De x = t on tire t = x, donc y = 3 x + 2. Équation de la forme y = a x + b ⇒ la trajectoire est une droite.
2. v⃗ (ẋ = 1 m/s ; ẏ = 3 m/s ; ż = 0) ; a⃗ (ẍ = 0 ; ÿ = 0 ; z̈ = 0).
3. v = √(1² + 3² + 0²) = √10 ≈ 3,16 m/s (constante). Position à t = 7 s : x = 7 m, y = 3·7 + 2 = 23 m, z = 0 ⇒ OM⃗ (7 ; 23 ; 0).
4. Vitesse constante + trajectoire rectiligne ⇒ mouvement rectiligne uniforme (MRU).
Énoncé. La représentation graphique de la vitesse v = f(t) d'un mobile est donnée ci-contre.
✍️ Solution
📋 Données
1. Accélérations (coefficient directeur : a = Δv/Δt) :
2. Expression v(t) — Forme v(t) = a t + v₀. Vitesse initiale de chaque phase : v₀ = 10 m/s pour [0 ; 5], v₀ = 10 m/s au début de [5 ; 7], v₀ = −10 m/s au début de [7 ; 12]. En repère global :
v(t) = 10 m/s.v(t) = −10 t + 60 m/s.v(t) = 2 t − 24 m/s.3. Graphe a = g(t) pour t ∈ [0 ; 12] s :
Énoncé. Les composantes du vecteur accélération d'un point mobile sont a⃗(0 ; −3 ; 0). À l'instant t = 0, le mobile est en M₀(1 ; 2 ; 0) et son vecteur-vitesse initial est V⃗₀(1 ; 1 ; 0).
✍️ Solution
📋 Données
1. L'accélération est constante ⇒ mouvement uniformément varié : OM⃗ = ½ a⃗ t² + v⃗₀ t + OM⃗₀ = ½(0 ; −3 ; 0) t² + (1 ; 1 ; 0) t + (1 ; 2 ; 0). Donc : x(t) = t + 1 ; y(t) = −(3/2) t² + t + 2 ; z(t) = 0.
2. La coordonnée sur (Oz) est nulle à tout instant ⇒ le mouvement se fait dans le plan (xOy).
3. t = x − 1 ⇒ y = −(3/2)(x − 1)² + (x − 1) + 2 = −(3/2)(x² − 2x + 1) + (x − 1) + 2. D'où y = −(3/2) x² + 4 x − 1/2. Équation de la forme y = a x² + b x + c ⇒ trajectoire parabolique.
4. v⃗ = dOM⃗/dt ⇒ v⃗ ( ẋ = 1 ; ẏ = −3 t + 1 ; ż = 0 ) m/s.
5.a) La vitesse est minimale quand v_y = 0 (il ne reste que v_x = 1 m/s) ; c'est le sommet S de la trajectoire. b) ẏ = 0 ⇒ −3 t_S + 1 = 0 ⇒ t_S = 1/3 ≈ 0,33 s.
6. Le mobile coupe (Ox) quand y = 0 : −(3/2) x² + 4 x − 1/2 = 0. Δ = 4² − 4·(−3/2)·(−1/2) = 16 − 3 = 15. x₁ = (−4 + √15)/(−3) ≈ 0,04 m ; x₂ = (−4 − √15)/(−3) ≈ 2,62 m. Les points de rencontre sont M₁(0,04 ; 0 ; 0) et M₂(2,62 ; 0 ; 0).
7. a⃗·v⃗ = ẍ·ẋ + ÿ·ẏ = 0·1 + (−3)·(−3 t + 1) = 3(3 t − 1). Accéléré si 3(3t − 1) > 0 ⇔ t > 0,33 s ; retardé si t < 0,33 s.
Énoncé. Un point M décrit un arc de cercle OA de rayon R = 2,7 m. Le mobile part de O vers A avec une vitesse V₀. La trajectoire est orientée de O vers A. À la date t, son abscisse curviligne est s = OM = −0,6 t² + 3 t.
✍️ Solution
📋 Données
1. V(t) = ds/dt = d(−0,6 t² + 3 t)/dt ⇒ V(t) = −1,2 t + 3 (m/s). À t = 0 : V₀ = 3 m/s.
2. En A, V = 0 ⇒ −1,2 t_A + 3 = 0 ⇒ t_A = 2,5 s. s_A = −0,6·(2,5)² + 3·(2,5) = 3,75 m.
3. Dans la base de Frenet, a⃗ = a_t τ⃗ + a_n n⃗. À t = 1 s : V = −1,2 + 3 = 1,8 m/s. a_t = dV/dt = −1,2 m/s² ; a_n = V²/R = (1,8)²/2,7 = 3,24/2,7 = 1,2 m/s². Norme : a = a_n = 1,2 m/s² (l'accélération tangentielle constante reste a_t = −1,2 m/s²).
4. θ(t) = ω₀ t + θ₀ = (V₀/R) t + s₀/R. À t = 0, s₀ = 0 et V₀ = 3 m/s ⇒ θ(t) = (3/2,7) t = 1,11 t (rad).
Représentation à t = 1 s. V⃗₁ = 1,8 τ⃗ ⇒ ‖V⃗₁‖ = 1,8 cm ; a⃗ = 1,2 n⃗ ⇒ ‖a⃗‖ = 2,4 cm ; θ₁ = 1,11 rad ≈ 64°.
Énoncé. Un automobiliste très pressé roule à v_a = 108 km/h dans une zone limitée à 75 km/h. Une minute plus tard, une voiture de police en stationnement dans cette zone part à sa poursuite. La voiture de police atteint v_p = 144 km/h au bout de 20 s. On prend pour origine du repère (O, i⃗) la position du policier, et pour origine des temps l'instant où l'automobiliste passe devant le policier.
✍️ Solution
📋 Données
1.1) L'automobiliste roule sur une route rectiligne à vitesse constante v_a = 108 km/h ⇒ MRU. 1.2) Le policier, en stationnement (v₀ = 0), atteint v_p = 144 km/h en 20 s ⇒ MRUV accéléré.
2. v_p = a·t + v₀ ⇒ a = (v_p − v₀)/t. A.N. : v_p = 144/3,6 = 40 m/s ⇒ a = (40 − 0)/20 = 2 m/s².
3. v_a = 108/3,6 = 30 m/s. À t = 0, x₀ₐ = 0 (l'automobiliste passe devant le policier) ⇒ x_a(t) = 30 t.
4. Le policier démarre 1 min plus tard. Pose t′ = t − 60 (à t′ = 0, x₀_p = 0 et v₀_p = 0). x_p(t′) = ½ a t′² = t′² ⇒ x_p(t) = (t − 60)² ⇒ x_p(t) = t² − 120 t + 3600.
5. x_p(t) = x_a(t) ⇒ t² − 120 t + 3600 = 30 t ⇒ t² − 150 t + 3600 = 0. Δ = 150² − 4·3600 = 22 500 − 14 400 = 8 100 ; √Δ = 90. t₁ = (150 − 90)/2 = 30 s (rejetée car < 60 s : le policier n'a pas encore démarré). t = t₂ = (150 + 90)/2 = 120 s ; X = x_a(120) = 30·120 = 3 600 m.
6. v_p = a(t − 60) = 2·(120 − 60) = 120 m/s.
Énoncé. Sur une portion rectiligne ABCD d'une voie ferrée, un train arrive en A à 108 km/h. Il aborde la marche suivante :
Origine des abscisses : A ; origine des temps : t = 0.
✍️ Solution
📋 Données
Phase AB — MRUV retardé. v_A = 108/3,6 = 30 m/s ; v_B = 54/3,6 = 15 m/s. Relation v_B² − v_A² = 2 a₁ (x_B − x_A) ⇒ a₁ = (15² − 30²)/(2·750) = −675/1500 = −0,45 m/s². Équations : x₁(t) = −0,225 t² + 30 t ; v₁(t) = −0,45 t + 30. Durée : v₁(t_B) = 15 ⇒ t_B = (30 − 15)/0,45 ≈ 33,3 s.
Phase BC — MRU, v = v_B = 15 m/s. Position initiale de la phase (= x_B) : x₀₂ = x₁(33,3) = −0,225·(33,3)² + 30·33,3 ≈ 750 m. Durée : 90 s. x₂(t) = 15 t + 750 ; v₂(t) = 15 m/s. Position finale : x_C = 15·90 + 750 = 2 100 m.
Phase CD — MRUV accéléré. v_C = 15 m/s ; v_D = 30 m/s ; durée 40 s ⇒ a₃ = (30 − 15)/40 = 0,375 m/s². Position initiale x₀₃ = x_C = 2 100 m. x₃(t) = 0,1875 t² + 15 t + 2100 ; v₃(t) = 0,375 t + 15.
2. x_D = 0,1875·(40)² + 15·40 + 2100 = 300 + 600 + 2100 = 3 000 m = 3 km.
3. Diagramme des vitesses : phase AB de 30 → 15 m/s sur [0 ; 33,3 s], plateau à 15 m/s sur [33,3 ; 123,3 s], remontée à 30 m/s sur [123,3 ; 163,3 s].
Énoncé. Prendre g = 10 m·s⁻². Un solide (S) est lancé avec une vitesse initiale V⃗₀ à partir du sommet d'un plan incliné d'angle α = 30° sur l'horizontale. Le tableau ci-dessous donne les positions successives G_i de son centre d'inertie au cours du temps.
| t (s) | 0 | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| G_i | G₀ | G₁ | G₂ | G₃ | G₄ | G₅ |
| X_i (cm) | 0 | 16 | 36 | 60 | 88 | 120 |
V_G = d(G_{i−1}, G_{i+1}) / (t_{i+1} − t_{i−1}).✍️ Solution
📋 Données
1. V_i = (X_{i+1} − X_{i−1}) / (t_{i+1} − t_{i−1}).
| t (s) | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,4 |
|---|---|---|---|---|
| V_G (m/s) | 1,8 | 2,2 | 2,6 | 3,0 |
2. Graphe V_G = f(t).
3. a) La courbe est une droite qui coupe l'axe des ordonnées à l'origine à V₀ = 1,4 m/s. b) La droite est de la forme V_G = a₀ t + V₀ ; la pente donne a₀ : a₀ = ΔV/Δt = (2,6 − 1,8)/(0,3 − 0,1) = 0,8/0,2 = 4 m/s².
v = dx/dt ; a = dv/dt = d²x/dt²x = x₀ + v₀ (t − t₀) ; a = 0v = v₀ + a (t − t₀) ; x = x₀ + v₀ (t − t₀) + ½ a (t − t₀)² ; v² − v₀² = 2 a (x − x₀)a⃗ = (dv/dt) τ⃗ + (v²/R) n⃗ω = v/R ; T = 2π/ω ; a_n = v²/R = ω² RSérie d'exercices — Niveau Bac
Trois types d'exercices : équations horaires paramétriques, exploitation d'un graphique v = f(t), et mouvement à accélération constante dans le plan. Les graphiques officiels du document sont reproduits tels quels. Traite un exercice, puis demande sa correction : la demande part au professeur sur Telegram et le bloc Données → Solution s'affiche ici dès qu'il l'autorise. Chaque exercice se débloque séparément.
Notation : v(t) = (vₓ ; vᵧ ; v_z) et a(t) = (aₓ ; aᵧ ; a_z). Sauf indication contraire, t en s, coordonnées en m, vitesse en m·s⁻¹, accélération en m·s⁻².
Pour chaque exercice : étudier la trajectoire, le vecteur vitesse, le vecteur accélération et la nature du mouvement.
Les équations horaires du mouvement d'un point matériel M sont :
x(t) = 2t − 1 ; y(t) = 5t + 3 ; z(t) = 0.
Correction verrouillée (Données + Solution)
On considère le mouvement défini par :
x(t) = 4 − 3t ; y(t) = 2t − 1 ; z(t) = 2.
Correction verrouillée (Données + Solution)
Le mouvement d'un point M est donné par :
x(t) = t² + 2t ; y(t) = 2t² − t + 1 ; z(t) = 0.
Correction verrouillée (Données + Solution)
Dans un repère orthonormé, les équations horaires sont :
x(t) = 3t² − 2t + 1 ; y(t) = −t² + 4t + 2 ; z(t) = 0.
Correction verrouillée (Données + Solution)
Un point matériel M se déplace suivant :
x(t) = 2t + 1 ; y(t) = t² − 4t + 3 ; z(t) = 0.
Correction verrouillée (Données + Solution)
Les courbes sont constituées de segments de droite. Sur chaque phase, l'accélération est la pente de la courbe : a = Δv/Δt.
La représentation graphique de la vitesse v = f(t) est donnée ci-dessous.
Correction verrouillée (Données + Solution)
La représentation graphique de la vitesse v = f(t) est donnée ci-dessous.
Correction verrouillée (Données + Solution)
La représentation graphique de la vitesse v = f(t) est donnée ci-dessous.
Correction verrouillée (Données + Solution)
La représentation graphique de la vitesse v = f(t) est donnée ci-dessous.
Correction verrouillée (Données + Solution)
La représentation graphique de la vitesse v = f(t) est donnée ci-dessous.
Correction verrouillée (Données + Solution)
On utilise, lorsque a est constante : v(t) = v₀ + a·t et r(t) = r₀ + v₀·t + ½a·t². Les vecteurs sont donnés par leurs trois composantes.
Les composantes de l'accélération sont a = (0 ; −2 ; 0).
À t = 0 : M₀(1 ; 2 ; 0) et v₀ = (3 ; 4 ; 0).
Correction verrouillée (Données + Solution)
On donne a = (0 ; −4 ; 0).
À t = 0 : M₀(−2 ; 1 ; 0) et v₀ = (5 ; 6 ; 0).
Correction verrouillée (Données + Solution)
Un mobile est soumis à une accélération constante a = (2 ; 0 ; 0).
À t = 0 : M₀(0 ; −3 ; 0) et v₀ = (1 ; 5 ; 0).
Correction verrouillée (Données + Solution)
Les composantes de l'accélération sont a = (−2 ; −2 ; 0).
À t = 0 : M₀(2 ; 1 ; 0) et v₀ = (4 ; 2 ; 0).
Correction verrouillée (Données + Solution)
Un point M évolue dans un plan avec a = (0 ; −3 ; 0).
À t = 0 : M₀(−1 ; 2 ; 0) et v₀ = (4 ; 3 ; 0).
Correction verrouillée (Données + Solution)
Évaluation officielle
Le QCM d'évaluation est encadré par le professeur. Pour y accéder :
Le mode entraînement est libre : pas de chrono, pas d'autorisation, la correction s'affiche après chaque question.